Юрий Николаевич родился 17 июля 1981 года в городе Горловка Донецкой области. Свое детство и юность провел в родном городе. Закончил 9 классов в Лицее №20 г. Горловка. После школы окончил закончил торговое училище по профессии повар-кондитер.
В 2012 году закончил Государственное высшее учебное заведение «Донецкий национальный технический университет» и получил базовое высшее образование по направлению подготовки «Переработка полезных ископаемых» и приобрел квалификацию бакалавра по переработке полезных ископаемых.
В 2001 году Юрий Николаевич приехал на постоянное место жительства в Белгородскую область.
С 2016 года проживает в селе Короткое Корочанского района.
Работал в городе Губкин на Лебединском горно-обогатительном комбинате - дробильщиком.
С января по июль 2015 года пошел добровольцем служить в Народную милицию Луганской народной республики. Участвовал в боях за освобождение Дебальцево. Там получил ранение и контузию. Был комиссован.
Рядовой запаса Акиньшин Юрий Николаевич с апреля 2022 года изъявил желание вступить в состав 13 отряда «Барс» и был зачислен в состав личного состава.
28 июня 2022 года рядовой Народной милиции Донецкой народной республики Юрий Николаевич Акульшин героически погиб в районе населенного пункта Богородичное.
Указом Президента Российской Федерации за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга, Юрий награжден орденом Мужества посмертно.
15 февраля 2023 года состоялось историческое событие – открытие памятной таблички на домовладении, где проживал Юрий Николаевич.
Юрий Николаевич был женат дважды, от первого брака есть дочь Анастасия, 2002 г.р.